Question

已知函數f(x)=|

1

x

-3|，x∈（0，+∞）
（1）畫出y=f（x）的大致圖象，并根據圖象寫出函數y=f（x）的單調區間；
（2）設0＜a＜

1

9

，b＞

1

3

試比較f（a），f（b）的大小．
（3）是否存在實數a，b，使得函數y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]？若存在，求出a，b的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由y=

1

x

，x∈（0，+∞）的圖象向下平移3個單位，再把x軸下方的翻折到x軸上方，可得y=f（x）的大致圖象，從而可得函數y=f（x）的單調區間；
（2）分別表示出f（a），f（b），確定其范圍，即可比較f（a），f（b）的大小；
（3）可假設存在實數a，b，使得y=f（x）的定義域和值域都是[a，b]，由此出發探究a，b的可能取值，可分三類：a，b∈（0，

1

3

）時，a，b∈（

1

3

，+∞）時，a∈（0，

1

3

），b∈（

1

3

，+∞），分別建立方程，尋求a，b的可能取值，若能求出這樣的實數，則說明存在，否則說明不存在．

解答：解：（1）由y=

1

x

，x∈（0，+∞）的圖象向下平移3個單位，再把x軸下方的翻折到x軸上方，可得y=f（x）的大致圖象
如圖所示
函數y=f（x）的單調減區間為（0，

1

3

），單調增區間為（

1

3

，+∞）；
（2）由題意，f（a）=

1

a

-3，f（b）=3-

1

b

∵0＜a＜

1

9

，b＞

1

3

∴

1

a

＞9，0＜

1

b

＜3
∴f（a）＞6，0＜f（b）＜3
∴f（a）＞f（b）；
（3）不存在實數a，b滿足條件．
假設存在實數a，b，使得y=f（x）的定義域和值域都是[a，b]，而y≥0，x≠0，所以應有a＞0
又f（x）=

1 x -3，0＜x＜ 1 3 3- 1 x ，x＞ 1 3

①當a，b∈（0，

1

3

）時，函數在（0，

1

3

）上為減函數，
故有

f(a)=b f(b)=a

，即

1 a -3=b 1 b -3=a

，由此可得a=b，此時實數a，b的值不存在．
②當a，b∈（

1

3

，+∞）時，函數在（

1

3

，+∞）上為增函數，
故有

f(a)=a f(b)=b

，即

1 a -3=a 1 b -3=b

，由此可得a，b是方程x²+3x-1=0的根，所以x=

-3± 13

2

，不合題意，故此時實數a，b也不存在．
③當a∈（0，

1

3

），b∈（

1

3

，+∞）時，顯然

1

3

∈[a，b]，而f（

1

3

）=0∈[a，b]不可能，此時a，b也不存在
綜上可知，適合條件的實數a，b不存在．

點評：本題考查函數的圖象，考查函數與方程的綜合應用，考查絕對值函數，二次方程根與系數的關系等，解題的關鍵是理解題意，將問題正確轉化，進行分類討論探究，是一道綜合性較強的題，思維難度大．