Question

數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n且a_n+S_n=1（n∈N^*）
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n（n≥1），求{b_n}通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）只需要寫(xiě)出相鄰的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，兩式相減即可獲得數(shù)列通項(xiàng)之間的關(guān)系，結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn)即可獲得解答；
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）可知數(shù)列{b_n}滿足b_n+1-b_n=a_n，通過(guò)錯(cuò)位相消即可求的數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再通過(guò)分組法即可求得數(shù)列的前n項(xiàng)公式．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+S_n=1，
∴a_n+1+S_n+1=1
兩式相減得a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=0．∴2a_n+1=a_n．
∴{a_n}為公式為

1

2

的等比數(shù)列．
又n=1時(shí)，a₁+S₁=1．∴a1=

1

2

∴an=a1qn-1=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n
∴{a_n}的通項(xiàng)公式：an=(

1

2

)n，n∈N*．
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+a_nbn+1-bn=(

1

2

)n．
∴b2-b1=

1

2

，b3-b2=(

1

2

)2，  b4-b3=(

1

2

)3， ，  bn-bn-1=(

1

2

)n-1
相加，bn-b1=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3++(

1

2

)n-1．
∵b₁=1，
∴bn=1+

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n-1═2(1-

1

2n

)
即bn=2(1-

1

2n

)．
Tn=2n-2(

1

2

+

1

22

++

1

2n

)=2n-2(1-

1

2n

)=2(n-1)+

1

2n-1

．
∴{b_n}通項(xiàng)公式為：bn=2(1-

1

2n

)，n∈N*
前n項(xiàng)和為：Tn=2(n-1)+

1

2n-1

，n∈N*

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)列的遞推關(guān)系問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了遞推關(guān)系的處理、特殊數(shù)列的探究、錯(cuò)位相消的處理方法以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化的能力．值得同學(xué)們體會(huì)反思．