Question

已知關于x的方程9^x+m•3^x+6=0（其中m∈R）．
（1）若m=-5，求方程的解；
（2）若方程沒有實數根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當m=-5時，方程即為9^x-5•3^x+6=0，利用換元法，令3^x=t（t＞0），方程可轉化為t²-5t+6=0，可求t進而可求x
（2）令3^x=t（t＞0），方程可轉化為t²+mt+6=0①，要使原方程沒有實數根，應使方程①沒有實數根，或者沒有正實數根，結合二次方程可求

解答：解：（1）當m=-5時，方程即為9^x-5•3^x+6=0，
令3^x=t（t＞0），方程可轉化為t²-5t+6=0，
解得t=2或t=3，
由3^x=2得x=log₃2，由3^x=3得x=1，
故原方程的解為1，log₃2．
（2）令3^x=t（t＞0）．
方程可轉化為t²+mt+6=0①
要使原方程沒有實數根，應使方程①沒有實數根，或者沒有正實數根．
當方程①沒有實數根時，需△=m²-24＜0，
解得-2

6

＜m＜2

6

；
當方程①沒有正實數根時，方程有兩個相等或不相等的負實數根，
這時應有

△=m2-24≥0 -m＜0

，解得m≥2

6

．
綜上，實數m的取值范圍為m＞-2

6

．

點評：本題主要考查了利用換元法求解二次方程的根，解題的難點在于（2）中二次方程的根有限制條件時，要注意結合二次函數的性質．