Question

（15）已知函數f(x)=－x³＋3x²＋9x＋a,

（I）求f(x)的單調遞減區間；

（II）若f(x)在區間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區間上的最小值．

Answer 1

（15）解：（I） ＝－3x²＋6x＋9．

令<0，解得x<－1或x>3，

   所以函數f(x)的單調遞減區間為（－∞，－1），（3，＋∞）．

  （II）因為f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，

f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

所以f(2)>f(－2)．因為在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上單調遞增，又由于f(x)在

[－2，－1]上單調遞減，因此f(2)和f(－1)分別是f(x)在區間[－2，2]上的最大值和最小值。

于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．   

故f(x)=－x³＋3x²＋9x－2。

因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

即函數f(x)在區間[－2，2]上的最小值為－7．