Question

已知函數.

(Ⅰ)若時，求的值域；

(Ⅱ)若存在實數，當時，恒成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（I）的值域為：.（II）.

【解析】

試題分析：（I）將二次函數配方，結合拋物線的圖象便可得的值域.

（II）由恒成立得：恒成立，

令，則只需的最大值小于等于0.

由此得：，令

則原題可轉化為：存在，使得 .這又需要時.接下來又對二次函數分情況討論，從而求出實數的取值范圍.

試題解析：（I）將二次函數配方得：  2分

該函數的圖象是一條開口向上的拋物線，頂點為，.

因為，所以最大值為，

∴的值域為：              6分

（II）由恒成立得：恒成立，

令，因為拋物線的開口向上，所以，由恒成立知：                 8分

化簡得：   令

則原題可轉化為：存在，使得   即：當，  10分

∵，的對稱軸： 

  即：時，

∴解得：   

②當  即：時，

∴解得：

綜上：的取值范圍為：                 13分

法二：也可，

化簡得：  有解.

，則.

考點：1、二次函數；2、函數的最值；3、解不等式.