Question

（2010•溫州二模）設(shè)AD是半徑為5的半圓O的直徑（如圖），B，C是半圓上兩點，AB=BC=

10

．
（1）求cos∠AOB的值；
（2）求

DC

•

DA

的值．

Answer 1

分析：（1）在△AOB中，利用余弦定理求解即可．
（2）根據(jù)圓的性質(zhì)，得出∠CDA=

1

2

∠AOC=∠AOB．從而cos∠CDA=cos∠AOB=

4

5

，解直角三角形ACD，求出CD后，利向量的數(shù)量積公式計算．

解答：解：（1）連接OB，由余弦定理得
cos∠AOB=

OB2+OA2-AB2

2OA•OB

=

25+25-10

2•5•5

=

4

5

…（5分）
（2）連接AC，∵AD為直徑，∴∠ACD=90°   …（7分）
又∵∠CDA=

1

2

∠AOC=∠AOB．
∴cos∠CDA=cos∠AOB=

4

5

  …（9分）
又cos∠CDA=

CD

DA

=

CD

10

，∴CD=8    …（12分）
∴

DC

•

DA

=|

DC|

•|

DA

|cos∠CDA=8×10×

4

5

=64   …（14分）

點評：本題考查余弦定理得應(yīng)用，向量的數(shù)量積運算．用到了圓的性質(zhì)，實現(xiàn)了角的等量代換．