Question

已知冪函數y＝f(x)＝ (p∈Z)在(0，＋∞)上是增函數，且是偶函數.

(1)求p的值并寫出相應的函數f(x)；

(2)對于(1)中求得的函數f(x)，設函數g(x)＝－qf(f(x))＋(2q－1)f(x)＋1.

試問：是否存在實數q(q＜0)，使得g(x)在區間(－∞，－4]上是減函數，且在(－4,0)上是增函數；若存在，請求出來，若不存在，說明理由.

Answer 1

(1)∵冪函數y＝x^α在(0，＋∞)上是增函數時，α＞0，∴－p²＋p＋＞0，即p²－2p－3＜0，解得－1＜p＜3，又p∈Z，∴p＝0,1,2.

當p＝0時，y＝不是偶函數；

當p＝1時，f(x)＝x²是偶函數；

當p＝2時，f(x)＝不是偶函數，

∴p＝1，此時f(x)＝x².

(2)由(1)得g(x)＝－qx⁴＋(2q－1)x²＋1，

設x₁＜x₂，則g(x₁)－g(x₂)＝q(x₂⁴－x₁⁴)＋(2q－1)·(x₁²－x₂²)＝(x₂²－x₁²)[q(x₁²＋x₂²)－(2q－1)].

若x₁＜x₂≤－4，則x₂²－x₁²＜0且x₁²＋x₂²＞32，

要使g(x)在(－∞，－4]上是減函數，

必須且只需q(x₁²＋x₂²)－(2q－1)＜0恒成立.

即2q－1＞q(x₁²＋x₂²)恒成立.

由x₁²＋x₂²＞32且q＜0，得q(x₁²＋x₂²)＜32q，

只需2q－1≥32q成立，

則2q－1＞q(x₁²＋x₂²)恒成立.

∴當q≤－時，g(x)在(－∞，－4]上是減函數，同理可證，當q≥－時，g(x)在(－4,0)上是增函數，

∴當q＝－時，g(x)在(－∞，－4]上是減函數，

在(－4,0)上是增函數.