Question

【題目】一個創業青年租用一塊邊長為4百米的等邊田地如圖養蜂、產蜜與售蜜,田地內擬修建筆直小路MN，AP，其中M，N分別為AC，BC的中點，點P在CN上，規劃在小路MN與AP的交點O(O與M、N不重合處設立售蜜點，圖中陰影部分為蜂巢區，空白部分為蜂源植物生長區，A，N為出入口小路的寬度不計為節約資金，小路MO段與OP段建便道，供蜂源植物培育之用，費用忽略不計為車輛安全出入，小路AO段的建造費用為每百米5萬元，小路ON段的建造費用為每百米4萬元．

（Ⅰ）若擬修的小路AO段長為百米，求小路ON段的建造費用；

（Ⅱ）設, 求的值，使得小路AO段與ON段的建造總費用最小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）4萬元；（Ⅱ），小路AO段與ON段的建造總費用最小為萬元.

【解析】

（Ⅰ）在中用余弦定理計算的長度，故可得的長度后即得段的建筑費用.

（Ⅱ）在中用正弦定理計算的長度后得到，令，將其變形為，利用輔助角公式可得，從而得到，驗證等號成立后可得何時取最小值.

（Ⅰ）在中，，

即，

故或（舎去），故，

所以段的建筑費用為萬元.

（Ⅱ）由正弦定理得：在中，，

故，

，

設小路和段的建造總費用為，

則，

令，且，，

即.

由，得，故，即或（舍去）.

當時，，故，其中，

故由，符合題意.

答：，小路AO段與ON段的建造總費用最小為萬元.