Question

【題目】動點在拋物線上，過點作垂直于軸，垂足為，設(shè).

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)點，過點的直線交軌跡于兩點，直線的斜率分別為，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）1

【解析】

試題分析：（Ⅰ）考慮點和點的關(guān)系，設(shè)點，由可把用表示出來，再把代入已知拋物線方程即得； （Ⅱ）分析題意知直線斜率存在，設(shè)方程為，設(shè)點， 由直線方程與曲線方程聯(lián)立方程組，消去得的一元二次方程，則可得，當(dāng)過點時，不妨設(shè)，則可以看作是曲線在A點處切線的斜率，則可計算出，當(dāng)不過點時，計算，最后計算，交把代入得到關(guān)于的函數(shù)，可求得最小值．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)點，則由得，因為點在拋物線上，

（Ⅱ）方法一：由已知，直線的斜率一定存在，設(shè)點，設(shè)方程為，

聯(lián)立得

由韋達定理得

（1）當(dāng)直線經(jīng)過點即或時，當(dāng)時，直線的斜率看作拋物線在點處的切線斜率，則，此時；當(dāng)時，同理可得.

（2）當(dāng)直線不經(jīng)過點即且時，，

所以的最小值為.

方法二：同上

故，所以的最小值為

方法三：設(shè)點，由直線過點交軌跡于兩點得：

化簡整理得：

，令，則