Question

已知離心率為

1

2

的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）、B（0，1）的直線有且只有一個公共點P，點F是橢圓的右焦點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在一點M（m，0），使過M且與橢圓交于R、S兩點的任意直線l，均滿足∠RFP=∠SFP？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：解（Ⅰ）由e=

c

a

=

1

2

，知a=2c，b=

3

c，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）設l的方程是y=k（x-m），由

y=k(x-m) x2+ 4y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-3=0，設R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），則x1+x2=

8k2m

3+4k2

，x1x2=

4k2m2-3

3+4k 2

，由PF⊥x軸，∠RFP=∠SFP，知k_RF+k_SP=0，由此能導出m=2時，存在滿足條件的點M（2，0）．

解答：解：（Ⅰ）∵e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c，b=

3

c，
設橢圓的方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
直線AB的方程為y=-

1

2

x+1，
由

x2 4c2 + y2 3c2 =1 y=- 1 2 x+1

得x²-x+1-3c²=0，
由題意知△=1-4（1-3c²）=0，
∴c=

1

2

，橢圓的方程為x2+

4y2

3

=1．
（Ⅱ）假設存在滿足條件的點M，易知直線l的斜率不存在時，不合題意，
故設其斜率為k，則l的方程是y=k（x-m），
由

y=k(x-m) x2+ 4y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-3=0，
設R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），則x1+x2=

8k2m

3+4k2

，x1x2=

4k2m2-3

3+4k 2

，
∵P(

1

2

，

3

4

)，F(

1

2

，0)，∴PF⊥x軸，
∵∠RFP=∠SFP，∴k_RF+k_SP=0，
∴

y1

x1- 1 2

+

y2

x2- 1 2

=

k(x1-m)

x1- 1 2

+

k(x2-m)

x2- 1 2

=k•

2× 4k2m2-3 3+4k2 -( 1 2 +m)• 8k2m 3+4k2 +m

4k2m2-3 3+4k2 - 1 2 ×  8k2m 3+4k2 + 1 4

2
=0，
∴m=2．
∴m=2時，存在滿足條件的點M（2，0）．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．