Question

已知函數f(x)=loga

1-mx

x+1

（a＞0，a≠1，m≠-1），是定義在（-1，1）上的奇函數．
（I）求f（0）的值和實數m的值；
（II）當m=1時，判斷函數f（x）在（-1，1）上的單調性，并給出證明；
（III）若f(

1

2

)＞0且f（b-2）+f（2b-2）＞0，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）直接把0代入即可求出f（0）的值；再結合f（-x）+f（x）=0對定義域內的所有自變量成立即可求出實數m的值；
（II）先研究真數的單調性，再結合復合函數的單調性即可判斷函數f（x）在（-1，1）上的單調性；
（III）先根據f(

1

2

)＞0得到a的范圍；再結合其為奇函數把f（b-2）+f（2b-2）＞0轉化為f（b-2）＞f（2-2b），結合第二問的單調性即可求出實數b的取值范圍．

解答：解：（I）∵f（0）=log_a¹=0．
因為f（x）是奇函數，
所以：f（-x）=-f（x）⇒f（-x）+f（x）=0
∴log_a 

mx+1

-x+1

+log_a

1-mx

x+1

=0；
∴log_a 

mx+1

-x+1

•

1-mx

x+1

=0⇒

mx+1

-x+1

•

1-mx

x+1

=1，
即∴1-m²x²=1-x²對定義域內的x都成立．∴m²=1．
所以m=1或m=-1（舍）
∴m=1．
（II）∵m=1
∴f（x）=log_a 

1-x

x+1

；
設t=

1-x

x+1

=

-(x+1)+2

x+1

=-1+

2

x+1

設-1＜x₁＜x₂＜1，則t1-t2=

2

x1+1

-

2

x2+1

=

2(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

∵-1＜x₁＜x₂＜1∴x₂-x₁＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0
∴t₁＞t₂．
 當a＞1時，log_at₁＞log_at₂，
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴當a＞1時，f（x）在（-1，1）上是減函數．
當0＜a＜1時，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴當0＜a＜1時，f（x）在（-1，1）上是增函數．
（III）由f（b-2）+f（2b-2）＞0
得f（b-2）＞-f（2b-2），
∵函數f（x）是奇函數
∴f（b-2）＞f（2-2b）
f(

1

2

)=loga

1

3

＞0，
∴0＜a＜1
由（II）得f（x）在（-1，1）上是增函數
∴

b-2＞2-2b -1＜b-2＜1 -1＜2b-2＜1

∴

4

3

＜b＜

3

2

∴b的取值范圍是(

4

3

，

3

2

)

點評：本題主要考察對數函數圖象與性質的綜合應用．本題第二問涉及到復合函數的單調性，復合函數的單調性遵循原則是：同增異減．