Question

已知數列{a_n}的奇數項是首項為1公差為d的等差數列，偶數項是首項為2公比為q的等比數列．數列{a_n}前n項和為S_n，且滿足S₃=a₄，a₃+a₅=2+a₄．
（1）求d和q的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式和前n項和為S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由題意聯立方程組解得即可；
（2）分n為奇數、偶數分別求得．

解答： 解：（1）由題意得a₁=1，a₂=2，
又S₃=a₄，a₃+a₅=2+a₄，
∴

a1+a2+a3=a4 a3+a5=2+a4

，
∴

1+2+1+d=2q 1+d+1+2d=2+2q

即

4+d=2q 2+3d=2+2q

解得d=2，q=3；
（2）當n為奇數時，s_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（a₂+a₄+…+a_n-1）=

n+1 2 (a1+an)

2

+

a2(1-q n-1 2 )

1-q

=

n+1

4

[1+1+（

n+1

2

-1）•2]+

2(1-3 n-1 2 )

1-3

=

(n+1)2

4

+3

n-1

2

-1；
當n為偶數時，s_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（a₂+a₄+…+a_n）=

n 2 (a1+an-1)

2

+

a2(1-q n 2 )

1-q

=

n

4

[1+1+（

n

2

-1）•2]+

2(1-3 n 2 )

1-3

=

n2

4

+3

n

2

-1．

點評：本題主要考查等差數列、等比數列的性質及前n項和公式等知識，考查學生的運算求解能力及分類討論思想的運用，屬難題．