Question

(本題滿分13分)
如圖，在六面體中，平面∥平面，
⊥平面，,,
∥．且,．
（1）求證： ∥平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3） 求五面體的體積．

Answer 1

（1）略
（2）
（3）4

由已知，AD、DE、DG兩兩垂直，建立如圖的坐標系，

則A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），G（0，2，0），F（2，1，0）
（1），
∴，所以BF∥CG．又BF平面ACGD，故 BF//平面ACGD …4分
（2），設平面BCGF的法向量為，
則，令，則，
而平面ADGC的法向量
∴＝  
故二面角D-CG-F的余弦值為．9分
（3）設DG的中點為M，連接AM、FM， 則＝
＝＝＝．……………13分
解法二設DG的中點為M，連接AM、FM，則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形，
所以MF//DE，且MF＝DE又∵AB//DE，且AB＝DE  ∴MF//AB，且MF＝AB
∴四邊形ABMF是平行四邊形，即BF//AM，
又BF平面ACGD 故 BF//平面ACGD……………4分
（利用面面平行的性質定理證明，可參照給分）
（Ⅱ）由已知AD⊥面DEFG∴DE⊥AD ，DE⊥DG即DE⊥面ADGC ，
∵MF//DE，且MF＝DE ， ∴MF⊥面ADGC
在平面ADGC中，過M作MN⊥GC，垂足為N，連接NF，則
顯然∠MNF是所求二面角的平面角．
∵在四邊形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM＝MG＝1

∴， ∴MN＝  在直角三角形MNF中，MF＝2，MN
∴＝＝＝，＝
故二面角D-CG-F的余弦值為…………9分
（3）＝＝
＝＝．……………13分