Question

090423

（本題滿分14分）已知定點C（-1，0）及橢圓x²+3y²=5,過點C的動直線與橢圓相交于A，B兩點.（1）若線段AB中點的橫坐標是-，求直線AB的方程；（2）在x軸上是否存在點M，使為常數？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（I）x-y+1=0,或x+y+1=0 （Ⅱ）

解析:

（解  （1）依題意，直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=k(x+1),

將y=k(x+1)代入x²+3y²=5,消去y整理得(3k²+1)x²+6k²x+3k²-5=0.…2 分  設A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),

① ②

則      4分由線段AB中點的橫坐標是-，得=-=-,解得k=±，適合①.  6分所以直線AB的方程為x-y+1=0,或x+y+1=0.…7分

(2)假設在x軸上存在點M（m，0），使為常數.

（ⅰ）當直線AB與x軸不垂直時，由（1）知x₁+x₂=-,x₁x₂=.    ③

所以=（x₁-m）(x₂-m)+y₁y₂=(x₁-m)(x₂-m)+k²(x₁+1)(x₂+1)=(k²+1)x₁x₂+(k²-m)(x₁+x₂)+k²+m². 

將③代入，整理得=+m²=+m²=m²+2m--. 11分注意到是與k無關的常數，從而有6m+14=0，m=-，此時=.…12分

（ⅱ）當直線AB與x軸垂直時，此時點A，B的坐標分別為、，

當m=-時，亦有=.綜上，在x軸上存在定點M，使為常數.  14分