Question

給定拋物線C：y²＝4x，F是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點，O為坐標原點．

(1)設l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；

(2)若＝2，求直線l的方程．

 

Answer 1

【答案】

(1) (x－3)²＋(y－2)²＝16；(2) y＝±2 (x－1)．

【解析】(1)由直線過點(1,0),斜率為1,所以直線l的方程為y=x-1,

再與拋物線聯立借助韋達定理求出AB的中點坐標，即圓心坐標，再根據焦點弦公式|AB|=x₁+x₂+p,求出半徑，寫出圓心方程.

(2) 直線l的方程為y＝k(x－1)與拋物線方程聯立消去x后得ky²－4y－4k＝0,從而可得

再根據＝2,得y₁＝－2y₂,從而可解得k的值.

(1)由題意可知，F(1,0)．∵直線l的斜率為1，∴直線l的方程為y＝x－1，

聯立，消去y得x²－6x＋1＝0   設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

則x₁＋x₂＝6，y₁＋y₂＝x₁＋x₂－2＝4，∴所求圓的圓心坐標為(3,2)，

半徑r＝＋1＝4，所以圓的方程為(x－3)²＋(y－2)²＝16

(2)由題意可知直線l的斜率必存在，設為k，則直線l的方程為y＝k(x－1)．

由得ky²－4y－4k＝0.設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

則由＝2，得(x₁－1，y₁)＝2(1－x₂，－y₂)

∴y₁＝－2y₂③    由①②③得k²＝8，k＝±2  ∴直線l的方程為y＝±2 (x－1)．