Question

動點P與點F（1，0）的距離和它到直線l：x=-1的距離相等，記點P的軌跡為曲線C₁．圓C₂的圓心T是曲線C₁上的動點，圓C₂與y軸交于M，N兩點，且|MN|=4．
（1）求曲線C₁的方程；
（2）設點A（a，0）（a＞2），若點A到點T的最短距離為a-1，試判斷直線l與圓C₂的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）設動點P的坐標為（x，y），依題意，得

(x-1)2+y2

=|x+1|，由此能得到曲線C₁的方程．
（2）設點T的坐標為（x₀，y₀），圓C₂的半徑為r，點T是拋物線C₁：y²=4x上的動點，y₀²=4x₀（x₀≥0）．|AT|=

(x0-a)2+(y0-0)2

=

x 2 0 -2ax0+a2+4x0

=

[x0-(a-2)]2+4a-4

．
∵a＞2，∴a-2＞0，則當x₀=a-2時，|AT|取得最小值為2

a-1

，由此入手能夠判斷判斷直線l與圓C₂的位置關系．

解答：解：（1）設動點P的坐標為（x，y），依題意，得|PF|=|x+1|，
即

(x-1)2+y2

=|x+1|，（2分）
化簡得：y²=4x，
∴曲線C₁的方程為y²=4x．（4分）
（2分）
∴曲線C₁的方程為y²=4x．（4分）
（2）設點T的坐標為（x₀，y₀），圓C₂的半徑為r，
∵點T是拋物線C₁：y²=4x上的動點，
∴y₀²=4x₀（x₀≥0）．
∴|AT|=

(x0-a)2+(y0-0)2

（6分）
=

x 2 0 -2ax0+a2+4x0

=

[x0-(a-2)]2+4a-4

．
∵a＞2，∴a-2＞0，則當x₀=a-2時，|AT|取得最小值為2

a-1

，（8分）
依題意得2

a-1

=a-1，
兩邊平方得a²-6a+5=0，
解得a=5或a=1（不合題意，舍去）．（10分）
∴x₀=a-2=3，y₀²=4x₀=12，即y0=±2

3

．
∴圓C₂的圓心T的坐標為（3，±2

3

）．
∵圓C₂與y軸交于M，N兩點，且|MN|=4，
∴|MN|=2

r2- x 2 0

=4．
∴r=

4+ x 2 0

=

13

．（12分）
∵點T到直線l的距離d=|x0+1|=4＞

13

，
∴直線l與圓C₂相離．（14分）

點評：本題考查圓的性質和綜合應用，解題時要認真審題，注意解答，合理進行等價轉化．