Question

有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為vm³，現假設下雨和蒸發正好平衡，且污染物質與湖水能很好地混合．用g（t）表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質（g），我們稱其為在時刻t時的湖水污染質量分數．已知目前污染源以每天pg的污染物質污染湖水，湖水污染質量滿足關系式g（t）=（p≥0），其中g（0）是湖水污染的初始質量分數．
（1）當湖水污染質量分數為常數時，求湖水污染的初始質量分數；
（2）求證：當g（0）＜時，湖泊的污染程度將越來越嚴重；
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，問經過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%

Answer 1

解：（1）設0≤t₁＜t₂，
因為g（t） 為常數，∴g（t₁）=g（t₂），即=，整理得
則g（0）=；
（2）設0＜t₁＜t₂，g（t₁）-g（t₂）=-=
因為g（0）-＜0，0＜t₁＜t₂，g（t₁）＜g（t₂）．
∴污染越來越嚴重．
（3）污染停止即P=0，g（t）=g（0）•，設經過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g（t）=5% g（0）?=，∴t=ln20，
故需要ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%．
分析：（1）設0≤t₁＜t₂，根據g（t） 為常數故可判斷出g（t₁）=g（t₂），把解析式代入即可求得g（0）的值．
（2）設0＜t₁＜t₂，進而求得g（t₁）-g（t₂）=，根據g（0）-＜0，0＜t₁＜t₂，判斷出g（t₁）＜g（t₂）．證明出污染的問題越來越嚴重．
（3），設經過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%，進而根據g（t）=5% g（0）求得t的值．
點評：本題主要考查了根據實際問題選擇函數類型．考查了學生對函數基礎知識的掌握和靈活運用．