Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在和處的切線相互平行，求的值；

（2）試討論的單調性；

（3）設，對任意的，均存在，使得.試求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】f′(x)＝ax－(2a＋1)＋(x＞0)．

(1) f′(1)＝f′(3)，解得a＝.(4分)

(2) f′(x)＝(x＞0)．

①當0＜a＜時，＞2，

在區間(0,2)和上，f′(x)＞0；

在區間上，f′(x)＜0，

故f(x)的單調遞增區間是(0,2)和，單調遞減區間是.(6分)

②當a＝時，f′(x)＝≥0，故f(x)的單調遞增區間是(0，＋∞)．(8分)

③當a＞時，0＜＜2，在區間和(2，＋∞)上，f′(x)＞0；在區間上，f′(x)＜0，故f(x)的單調遞增區間是和(2，＋∞)，單調遞減區間是.(10分)

(3) 由已知，在(0,2]上有f(x)max＜g(x)max.(11分)

由已知，g(x)max＝0，由(2)可知，

①當0＜a≤時，f(x)在(0,2]上單調遞增，

故f(x)max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2

＝－2a－2＋2ln2，

∴－2a－2＋2ln2＜0，解得a＞ln2－1，ln2－1＜0，故0＜a≤.(13分)

②當a＞時，f(x)在]上單調遞增，在]上單調遞減，

故f(x)max＝f＝－2－－2lna.

由a＞可知lna＞ln＞ln＝－1,2lna＞－2，－2lna＜2，

∴－2－2lna＜0，f(x)max＜0，(15分)

綜上所述，a＞0.(16分)

【解析】

試題（1）先求出函數的導數，利用條件“曲線在和處的切線相互平行”得到，從而在方程中求出的值；（2）對參數的符號進行分類討論，以確定方程的根是否在定義域內，并對時，就導數方程的根與的大小進行三種情況的分類討論，從而確定函數的單調區間；（3）將問題中的不等式等價轉化為，充分利用（2）的結論確定函數在區間上的最大值，從而求出參數的取值范圍.

試題解析：函數定義域為，

（1）∵函數

依題意，，即，解得；

（2），

①當時，，，

在區間上，；在區間上，，

故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

②當時，，

在區間和上，；在區間上，，

故函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；

③當時，，故的單調遞增區間為；

④當時，，

在區間和上，；在區間上，，

故函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；

（3）由已知，在(0,2]上有f(x)max＜g(x)max.

由已知，g(x)max＝0，由(2)可知，

①當a≤時，f(x)在(0,2]上單調遞增，

故f(x)max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2

＝－2a－2＋2ln2，

∴－2a－2＋2ln2＜0，解得a＞ln2－1，ln2－1＜0，故ln2－1＜a≤.

②當a＞時，f(x)在]上單調遞增，在]上單調遞減，

故f(x)max＝f＝－2－－2lna.

由a＞可知lna＞ln＞ln＝－1,2lna＞－2，－2lna＜2，

∴－2－2lna＜0，即f(x)max＜0，符合題意。

綜上所述，a＞ln2－1.