Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，側棱PD垂直于底面，PD＝DC＝2BC，E為棱PC上的點，且平面BDE⊥平面PBC．

（1）求證：E為PC的中點；
（2）求二面角A-BD-E的大小．

Answer 1

解法一：（1）證明：如圖，作CF⊥BE，垂足為F，

由平面BDE⊥平面PBC，
則CF⊥平面BDE，知CF⊥DE．
因為PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，
CD為DE在平面ABCD內的射影，
所以BC⊥DE，所以DE⊥平面PBC．
于是DE⊥PC，又PD＝PC，所以E為PC的中點．………………6分
（2）作EG⊥DC，垂足為G，則EG∥PD，從而EG⊥平面ABCD．
作GH⊥BD，垂足為H，連接EH，則BD⊥EH，
故∠EHG為二面角A－BD－E的平面角的補角．…………………9分
不妨設BC＝1，則PD＝DC＝2，
在Rt△EGH中，EG＝PD＝1，
GH＝＝，
∴tan∠EHC＝＝．
因此二面角A－BD－E的大小為－arctan．……………………12分
解法二：不妨設BC＝1，則PD＝DC＝2．
建立如圖所示的空間直角坐標系D－xyz，

則D(0，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)．
（1）證明：設＝，則E(0，，)．
設a＝ (x1，y1，z1)為面PBC的法向量，
則a⊥，a⊥，
又＝(1，0，0)，＝(0，－2，2)，
∴a＝x1＝0，a＝－2y1＋2z1＝0，
取a＝(0，1，1)．
設b＝(x2，y2，z2)為面BDE的法向量，
則b⊥，b⊥，
又＝(1，2，0)，＝(0，，)，
∴b＝x2＋2y2＝0，b＝＋＝0，
取b＝(，，1)．
∵平面BDE⊥平面PBC，
∴a·b＝＋1＝0，＝1．
所以E為PC的中點．…………………………………………6分
（2）由（Ⅰ）知，b＝(2，－1，1)為面BDE的法向量，
又c＝(0，0，1)為面ADB的法向量，
∵cos<b，c>＝＝，
所以二面角A－BD－E的大小為－arccos．………………12分

略