Question

已知點是橢圓上任一點，點到直線的距離為，到點的距離為，且．直線與橢圓交于不同兩點、(，都在軸上方) ，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）當為橢圓與軸正半軸的交點時，求直線方程；
（3）對于動直線，是否存在一個定點，無論如何變化，直線總經過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1），（2），（3）.

解析試題分析：（1）本題橢圓方程的求法是軌跡法.這是由于題目沒有明確直線是左準線，點是左焦點.不可利用待定系數法求解. 設，則，,化簡得： 橢圓C的方程為：,（2）條件中角的關系一般化為斜率，利用坐標進行求解. 因為,所以，由題意得，，可求與橢圓交點，從而可得直線方程（3）直線過定點問題，一般先表示出直線, ,利用等量關系將兩元消為一元. ，代入得：,.化簡得，直線方程：直線總經過定點.
（1）設，則，       （2分）
化簡得： 橢圓C的方程為：（4分）
（2），
，   （3分）
代入得：，，代入得
，   （5分）
，   （6分）
（3）解法一：由于，。   （1分）
設
設直線方程：，代入得：
   （3分）


，   （5分）
直線方程：
直線總經過定點   （6分）
解法二：由于，所以關于x軸的對稱點在直線上。

設
設直線方程：，代入得：