Question

．設是橢圓上的兩點，點是線段的中點，線段的垂直平分線與橢圓相交于兩點.
（1）確定的取值范圍，并求直線的方程；
（2）試判斷是否存在這樣的，使得四點在同一個圓上？并說明理由.

Answer 1

 
（1）解法一：設直線的方程為，代入 
整理得     ①
設，，②
且
由是線段的中點，得，解得，代入②得
所以直線的方程為，即                     （5分）
解法二：設，（點差）則有，因為是線段的中點，
又在橢圓內部，
，即，
所以直線的方程為，即
（1）      解法一：因為垂直平分，
（2）      所以直線的方程為，即，代入橢圓方程，整理得
設，的中點，
且，即，
由弦長公式得③，
將直線的方程代入橢圓方程得④，
同理可得⑤        （9分）
因為當時，，所以
假設存在，使四點共圓，則必為圓的直徑，點為圓心。點到直線的距離⑥，
于是，
故當時，在以為圓心，為半徑的圓上            （12分）

略