Question

（1） 若cos(75°+α)=

3

5

，(-180°＜α＜-90°)，求sin（105°-α）+cos（375°-α）值；
（2） 在△ABC中，若sinA+cosA=-

7

13

，求sinA-cosA，tanA的值．

Answer 1

分析：（1）∵105°-α=180°-（75°+α），375°-α=360°+（15°-α），我們根據誘導公式結合已知中cos(75°+α)=

3

5

，(-180°＜α＜-90°)，即可求出sin（105°-α）+cos（375°-α）的值；
（2）由sinA+cosA=-

7

13

，由A為三角形的內角，則A為鈍角，結合平方關系，我們不難求出sinA-cosA，tanA的值．

解答：解：（1）sin（105°-α）=sin[180°-（75°+α）]=sin（75°+α）
∵-180°＜α＜-90°
∴-105°＜75°+α＜-15°又cos(75°+α)=

3

5

＞0
∴-90°＜75°+α＜-15°
∴sin(75° +α)=-

4

5

cos(375°-α)=cos(15°-α)=cos[90° -(75°+α)]=sin(75°+α)=-

4

5

∴原式=-

8

5

（2）由sinA+cosA=-

7

13

兩邊平方得1+2sinAcosA=

49

169

而0＜A＜π2sinAcosA=-

120

169

＜0
∴

π

2

＜A＜π
∴1-2sinAcosA=

289

169

即(sinA-cosA)2=(

17

13

)2
又sinA-cosA＞0sinA-cosA=

17

13

∴

sinA= 5 13 cosA=- 12 13

∴tanA=-

5

12

點評：本題考查的知識點是三角函數如恒等變換應用，運用誘導公式化簡求值，同角三角函數關系等，分析已知角與未知角之間的關系，以選擇恰當的公式進行化簡求值是三角函數求值中最關鍵的環節．