Question

【題目】已知橢圓過點，其離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與相交于兩點，在軸上是否存在點，使為正三角形，若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：利用離心率可以得出的關系，化為的關系，再利用橢圓過點滿足橢圓方程，列出的方程，借助解出，寫出橢圓E的方程，聯立方程組，化為關于的一元二次方程，利用設而不求思想，借助根與系數關系，利用弦長公式求出，寫出AB中點P的坐標，利用，解出m，寫出直線的方程.

試題解析：

（1）由，和過點，可求得a,b,c，和橢圓標準方程。（2）由（1）可知橢圓方程，直線代入橢圓方程，消y得，由韋達定理和弦長公式表示出|AB|,再由韋達定理和C點（由AB的垂直平分線方程中令x=0求得）到直線距離求得d,然后令，解出m，再檢驗判別式，可解。

試題解析：（1）由已知得，解得.

橢圓的方程為.

（2）把代入的方程得，

設，則，

，

設的中點為，則

，令，則，

由題意可知，

，解得.符合，

直線的方程為.