Question

已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，過點K（-1，0）的直線l與C相交于A、B兩點，點A關于x軸的對稱點為D．
（Ⅰ）證明：點F在直線BD上；
（Ⅱ）設

FA

•

FB

=

8

9

，求△BDK的內切圓M的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據拋物線方程求得焦點坐標，設出過點K的直線L方程代入拋物線方程消去x，設L與C 的交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據韋達定理求得y₁+y₂和y₁y₂的表達式，進而根據點A求得點D的坐標，進而表示出直線BD和BF的斜率，進而問題轉化兩斜率相等，進而轉化為4x₂=y2²，依題意可知等式成立進而推斷出k₁=k₂原式得證．
（Ⅱ）首先表示出

FA

•

FB

結果為

8

9

求得m，進而求得y₂-y₁的值，推知BD的斜率，則BD方程可知，設M為（a，0），M到x=

4

3

y-1和到BD的距離相等，進而求得a和圓的半徑，則圓的方程可得．

解答：解：（Ⅰ）拋物線C：y²=4x①的焦點為F（1，0），
設過點K（-1，0）的直線L：x=my-1，
代入①，整理得
y²-4my+4=0，
設L與C 的交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，
點A關于X軸的對稱點D為（x₁，-y₁）．
BD的斜率k₁=

y1+y2

x2-x1

=

4

y2-y1

，
BF的斜率k₂=

y2

x2-1

．
要使點F在直線BD上
需k₁=k₂
需4（x₂-1）=y₂（y₂-y₁），
需4x₂=y2²，
上式成立，∴k₁=k₂，
∴點F在直線BD上．
（Ⅱ）

FA

•

FB

=（x₁-1，y₁）（x₂-1，y₂）=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（my₁-2）（my₂-2）+y₁y₂=4（m²+1）-8m²+4=8-4m²=

8

9

，
∴m²=

16

9

，m=±

4

3

．
y₂-y₁=

16m2-16

=4

m2-1

=

4 7

3

，
∴k₁=

3

7

，BD：y=

3

7

（x-1）．
易知圓心M在x軸上，設為（a，0），M到x=

4

3

y-1和到BD的距離相等，即
|a+1|×

3

5

=|（

3

7

（a-1）|×

7

4

，
∴4|a+1|=5|a-1|，-1＜a＜1，
解得a=

1

9

．
∴半徑r=

2

3

，
∴△BDK的內切圓M的方程為（x-

1

9

）²+y²=

4

9

．

點評：本小題為解析幾何與平面向量綜合的問題，主要考查拋物線的性質、直線與圓的位置關系，直線與拋物線的位置關系、圓的幾何性質與圓的方程的求解、平面向量的數量積等知識，考查考生綜合運用數學知識進行推理論證的能力、運算能力和解決問題的能力，同時考查了數形結合思想、設而不求思想．