Question

定義在[﹣1，1]上的奇函數f（x）滿足f（1）=2，且當a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0時，有．
（1）試問函數f（x）的圖象上是否存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直，若存在，求出A，B兩點的坐標；若不存在，請說明理由并加以證明．
（2）若對所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

解析試題分析：（1）假設函數的圖象上存在兩個不同的點，使直線恰好與軸垂直，設的橫坐標為,且,然后證得；推出函數在上是增函數，這與這與假設矛盾，可得假設不成立，命題得證．
（2）由題意可得函數的最大值小于或等于，結合（1）的過程，可求出其最大值，即整理的：．令關于的一次函數g（a）=m²+2am，則有，由此求得m的范圍．

試題解析：解：（1）假設函數f（x）的圖象上存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直， 則A、B兩點的縱坐標相同，設它們的橫坐標分別為 x1和x2，且x1＜x2． 則f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=[x1+（﹣x2）]． 由于 ＞0，且[x1+（﹣x2）]＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0， 故函數f（x）在[﹣1，1]上是增函數． 這與假設矛盾，故假設不成立，即 函數f（x）的圖象上不存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直． （2）由于 對所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立， ∴故函數f（x）的最大值小于或等于2（m2+2am+1）． 由于由（1）可得，函數f（x）是[﹣1，1]的增函數，故函數f（x）的最大值為f（1）=2， ∴2（m2+2am+1）≥2，即 m2+2am≥0． 令關于a的一次函數g（a）=m2+2am，則有 ， 解得 m≤﹣2，或m≥2，或 m=0，故所求的m的范圍是{m|m≤﹣2，或m≥2，或 m=0}．

考點：1.反證法；2.函數的恒成立問題.