Question

在如圖所示的幾何體中,是邊長為的正三角形,,平面,平面平面,,且.

（1）證明：//平面；
（2）證明：平面平面；
（3）求該幾何體的體積.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

試題分析：（1）取的中點，根據等腰三角形中線即為高線可得，又因為面平面，根據面面垂直的性質定理可得平面，已知平面，所以，根據線面平行的判定定理可得//平面。（2）因為,且，斜邊中線，又因為，可證得是平行四邊形,可得，根據線面垂直的判定定理可證得平面，即平面，從而可得，又因為即可證得平面，從而證得平面平面。（3）根據前兩問的條件可證得平面，從而可將此幾何體分割為以四邊形為底面的兩個四棱錐，然后再求其體積。
試題解析：證明:
(1) 取的中點,連接、,

由已知,可得：，
又因為平面⊥平面,平面平面，
所以平面，
因為平面, 所以， 
又因為平面,平面，
所以平面.                                      4分
(2)由(1)知,又, ,
所以四邊形是平行四邊形,則有， 
由（1）得,又,
平面, 所以平面， 
又平面,所以，
由已知, ,平面，  
因為平面, 所以平面平面.                     10分
(也可利用勾股定理等證明題中的垂直關系)
（3），平面，     11分
，易得四邊形為矩形其面積，             12分
故該幾何體的體積=.                  14分