Question

【題目】如圖為一組合幾何體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD且PD=AD=2EC=2．
（I）求證：AC⊥平面PDB；
（II）求四棱錐B﹣CEPD的體積；
（III）求該組合體的表面積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又底面ABCD為正方形，∴AC⊥BD，
∵BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PDB；
（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，且PD面PDCE，
∴面PDCE⊥面ABCD，又BC⊥CD，∴BC⊥平面PDCE．
∵S梯形PDCE= （PD+EC）DC= ×3×2=3，
∴四棱錐B﹣CEPD的體積VB﹣CEPD= S梯形PDCEBC= ×3×2=2；
（Ⅲ）解：∵BE=PE= ，PB=2 ，
∴SPBE= ×2 × = ．
又∵SABCD=2×2=4，SPDCE=3，SPDA= =2，SBCE= =1，SPAB= =2 ，
∴組合體的表面積為10+2 + ．

【解析】（Ⅰ）由已知結合線面垂直的性質可得PD⊥AC，又底面ABCD為正方形，得AC⊥BD，再由線面垂直的判定得AC⊥平面PDB；（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，可得面PDCE⊥面ABCD，進一步得到BC⊥平面PDCE．求出S梯形PDCE ， 代入棱錐體積公式求得四棱錐B﹣CEPD的體積；（Ⅲ）求解直角三角形得△PBE的三邊長，再由三角形面積公式可得組合體的表面積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．