Question

已知圓滿足：
①截y軸所得的弦長為2；
②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1；
③圓心到直線l：x-2y=0的距離為．
求該圓的方程．

Answer 1

解：設所求圓心為P（a，b），半徑為r，則圓心到x軸，y軸的距離分別為|b|、|a|，
因圓P截y軸得弦長為2，由勾股定理得r²=a²+1，又圓被x軸分成兩段圓弧的弧長的比為3：1，
∴劣弧所對的圓心角為90°，
故r=b，即r²=2b²，
∴2b²-a²=1①，
又∵P（a，b）到直線x-2y=0的距離為，
即=，
即a-2b=±1．②
解①②組成的方程組得：或，于是即r²=2b²=2，
∴所求的圓的方程為（x+1）²+（y+1）²=2或（x-1）²+（y-1）²=2．
分析：依題意，可設所求圓心為P（a，b），半徑為r，由①截y軸所得的弦長為2可得r²=a²+1；由②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1可知劣弧所對的圓心角為90°，從而有r=b；再由③圓心到直線l：x-2y=0的距離為可得a-2b=±1，綜合可求得a，b的值，從而可得該圓的方程．
點評：本題考查圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，考查方程思想與化歸思想的綜合運用，考查邏輯思維與運算能力，屬于難題．