Question

已知函數
（Ⅰ）設為函數的極值點，求證: ；
（Ⅱ）若當時，恒成立，求正整數的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）正整數的最大值為．

試題分析：（Ⅰ）設為函數的極值點，只需對求導，讓它的導函數在處的值為零，這樣得到的關系式，從而證明；（Ⅱ）當時，恒成立，求正整數的最大值，這是恒成立問題，解這類為題，只需分離參數，把含有參數放到不等式一邊，不含參數放到不等式的另一邊，轉化為求不含參數一邊的最大值或最小值即可，本題分離參數得，不等式的右邊就是，這樣轉化為求的最小值問題，由于帶有對數函數，需用極值法求最值，只需對求導，得，令時，即，無法解方程，可令，判斷單調性，利用根的存在性定理來確定根的范圍，從而求解．
試題解析：（Ⅰ）因為，故, 為函數的極值點,, 即,于是,故 ；
（Ⅱ）恒成立,分離參數得 ，則時，恒成立，只需，，記，， 在上遞增，又，在上存在唯一的實根， 且滿足， 當時，即；當時，即,,故正整數的最大值為．