Question

如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2DE＝2，M為AD的中點．

(1)證明：MF⊥BD；
(2)若二面角A－BF－D的平面角的余弦值為，求AB的長．

Answer 1

（1）見解析    （2）

(1)證明 由已知得△ADF為正三角形，所以MF⊥AD，
因為平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，
MF?平面ADEF，所以MF⊥BD.
(2)設AB＝x，以F為原點，AF，FE所在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則F(0,0,0)，A(－2,0,0)，D(－1，，0)，B(－2,0，x)，所以＝(1，－，0)，＝(2,0，－x)．
因為EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取n₁＝(0,1,0)．

設n₂＝(x₁，y₁，z₁)為平面BFD的法向量，則
可取n₂＝.
因為cos〈n₁，n₂〉＝＝，
得x＝，所以AB＝.