Question

某同學參加某高校的自主招生考試（該測試只考語文、數學、英語三門課程），其中該同學語文取得優秀成績的概率為0.5，數學和英語取得優秀成績的概率分別為p，q（p＜q），且不同課程取得優秀成績相互獨立．記ξ為該生取得優秀成績的課程數，其分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	0.12	a	b	0.12

（1）求p，q的值；
（2）求數學期望Eξ

Answer 1

分析：（1）用A表示“該生語文課程取得優秀成績”，用B表示“該生數學課程取得優秀成績”，用C表示“該生英語課程取得優秀成績”，由題意得P（

A

.

B

.

C

）=（1-0.5）（1-p）（1-q）=0.12，P（ABC）=0.5pq=0.12，由此能求出p，q．
（2）由題設知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出其概率，由此能夠求出數學期望Eξ．

解答：解：（1）用A表示“該生語文課程取得優秀成績”，
用B表示“該生數學課程取得優秀成績”，
用C表示“該生英語課程取得優秀成績”，
由題意得P（A）=0.5，P（B）=p，P（C）=q，p＜q，
P（

A

.

B

.

C

）=（1-0.5）（1-p）（1-q）=0.12，
P（ABC）=0.5pq=0.12，
解得p=0.4，q=0.6．
（2）由題設知ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=0.12，
P（ξ=1）=P（A

.

B

.

C

）+P（

.

A

B

.

C

）+P（

.

A

.

B

C）
=0.5×（1-0.4）×（1-0.6）+（1-0.5）×0.4×（1-0.6）+（1-0.5）×（1-0.4）×0.6
=0.38，
P（ξ=2）=P（AB

.

C

）+P（A

.

B

C）+P（

.

A

BC）
=0.5×0.4×（1-0.6）+0.5×（1-0.4）×0.6+（1-0.5）×0.4×0.6
=0.38，
P（ξ=3）=0.12，
∴Eξ=0×0.12+1×0.38+2×0.38+3×0.12=1.5．

點評：本題考查離散隨機變量的概率分布列和數學期望，是歷年高考的必考題型之一．解題時要認真審題，注意排列組合知識和概率知識的靈活運用．