Question

已知函數
（1）若f（x）在[1，3]上單調遞增，求a的取值范圍；
（2）若f（x）在x=x₁，x=x₂處取極值，且滿足|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）若f（x）在[1，3]上單調遞增，則函數的導數在[1，3]上大于0恒成立，得到關于x的二次函數，只要二次函數圖象當x∈[1，3]時恒在x軸上方即可，再利用二次函數根的分布來判斷即可．
（2）若f（x）在x=x₁，x=x₂處取極值，則x₁，x₂是方程g（x）=ax²+2x-5a=0的兩根，利用韋達定理可得，把|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|中的f（x₁）和f（x₂）用x₁，x₂表示，化簡，即可求出a的范圍．
解答：解：（1）∵，
∴由f（x）在[1，3]上單調遞增得：．
令g（x）=ax²+2x-5a，則得；
或；
又當a=0時，g（x）=2x＞0在[1，3]上恒成立，∴
再由．
綜上，
（2）∵f（x）在x=x₁，x=x₂處取極值，∴x₁，x₂是方程g（x）=ax²+2x-5a=0的兩根，
∴，
∴由，
∴．
點評：本題主要考查了應用導數求函數的單調區間，極值，屬于導數的應用．