Question

如圖，是一位騎自行車和一位騎摩托車在相距80km的兩城間行駛的函數(shù)圖象；其中騎自行車用了6小時(shí)（含途中休息1小時(shí)），騎摩托車用了2小時(shí)．
（1）有人根據(jù)這個(gè)圖象，提出關(guān)于兩人的信息如下：
①騎自行車比騎摩托車早出發(fā)3小時(shí)，晚到2小時(shí)；
②騎自行車是變速運(yùn)動(dòng)，騎摩托車是勻速運(yùn)動(dòng)；
③騎摩托車在出發(fā)1.5小時(shí)后追上騎自行車的，其中正確的序號(hào)為？
（2）設(shè)騎自行車和騎摩托車的人所對(duì)應(yīng)函數(shù)分別為f（x），g（x）；求f（x），g（x）解析式，并寫出定義域；
（3）定義函數(shù)?(x)=g(

x2-2x+a

40

+3)在[3，，5]有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的最大值、最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象對(duì)各信息進(jìn)行分析，從而得出正確答案．
（2）函數(shù)f（x）分段求解，可得分段函數(shù)；設(shè)解析式為g（x）=k₃x+b，將點(diǎn)（3，0），（5，80）代入，可得解析式；
（3）函數(shù)?(x)=g(

x2-2x+a

40

+3)=x²-2x+a，根據(jù)函數(shù)?(x)=g(

x2-2x+a

40

+3)在[3，，5]有零點(diǎn)，即可求得實(shí)數(shù)a的最大值、最小值．

解答：解：（1）信息1：由圖象可知騎自行車者在騎摩托車者出發(fā)三個(gè)小時(shí)后才出發(fā)的，并比騎摩托車者提早到達(dá)一小時(shí)
信息2：根據(jù)物理知識(shí)可以知道圖象表示的是速度曲線，騎自行車者的圖象是曲線故表示的是變速運(yùn)動(dòng)，騎摩托車者的圖象是直線故表示的是勻速運(yùn)動(dòng)．
信息3：兩圖象的交點(diǎn)在4.5h，并且在大于4.5h之后騎摩托車者的圖象在上方即表示追上了騎自行車者，故騎摩托車者在出發(fā)了1.5h后追上了騎自行車者．
所以信息①、②、③都是正確的，
（2）當(dāng)1≤x≤3時(shí)，設(shè)解析式為y=kx，將點(diǎn)（3，50）代入，可得k=

50

3

，
∴y=

50

3

x；
當(dāng)3＜x≤4時(shí)，y=50；
當(dāng)4＜x≤5時(shí)，設(shè)解析式為y=k₁x+b，將點(diǎn)（4，50），（5，70）代入，可得

4k1+b=50 5k1+b=70

，∴

k1=20 b=-30

，∴y=20x-30
當(dāng)5＜x≤6時(shí)，設(shè)解析式為y=k₂x+b，將點(diǎn)（6，80），（5，70）代入，可得

6k2+b=80 5k2+b=70

，∴

k2=10 b=20

，∴y=10x+20
∴f(x)=

50 3 x，1≤x≤3 50，3＜x≤4 20x-30，4＜x≤5 10x+20，5＜x≤6

函數(shù)的定義域?yàn)椋篬0，6]．
設(shè)解析式為g（x）=k₃x+b，將點(diǎn)（3，0），（5，80）代入，可得

3k3+b=0 5k3+b=80

，解得

k3=40 b=-120

，
∴g（x）=40x-120
函數(shù)的定義域?yàn)椋篬3，5]．
（3）函數(shù)?(x)=g(

x2-2x+a

40

+3)=x²-2x+a
∵函數(shù)?(x)=g(

x2-2x+a

40

+3)在[3，5]有零點(diǎn)
∴

?(3)=9-6+a≤0 ?(5)=25-10+a≥0

∴-5≤a≤-3
∴實(shí)數(shù)a的最大值為-3、最小值為-5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是函數(shù)模型的構(gòu)建，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查函數(shù)的零點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確分類．