Question

已知函數(shù)y=g（x）與f（x）=log_a（x+1）（a＞1）的圖象關(guān)于原點對稱．
（1）寫出y=g（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[0，1）時，總有f（x）+g（x）≥n成立，求實數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x，y）是函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點，則M（x，y）關(guān)于原點的對稱點為N（-x，-y）．則由N在函數(shù)f（x）=log_a（x+1）的圖象上，可得-y=log_a（-x+1），由此y=g（x）的解析式．
（2）由條件可得log_a

1+x

1-x

≥n．利用函數(shù)的單調(diào)性求得log_a

1+x

1-x

的最小值，即可求得實數(shù)n的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)M（x，y）是函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點，則M（x，y）關(guān)于原點的對稱點為N（-x，-y）．
則由N在函數(shù)f（x）=log_a（x+1）的圖象上，可得-y=log_a（-x+1），∴y=-log_a（1-x），即y=g（x）的解析式為 g（x）=-log_a（1-x）．
（2）由f（x）+g（x）≥n，得log_a

1+x

1-x

≥n．
設(shè)Q（x）=log_a

1+x

1-x

，x∈[0，1），由題意知，只要Q（x）_min≥n即可．
∵Q （x）=log_a（-1+

2

1-x

）在[0，1）上是增函數(shù)，∴Q （x）_min=Q（0）=0．
即n≤0為所求．

點評：本題主要考查求函數(shù)的解析式，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．