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若a，b，c是互不相等的正數，求證：a⁴＋b⁴＋c⁴＞a²b²＋b²c²＋c²a²＞abc(a＋b＋c)

答案：
解析：

　　∵a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ac

　　又，，是互不相等的正數，以上三式相加

　　∴a＋b＋c＞ab＋bc＋ca，

　　同理可得：ab＋bc＋ca＞ab·bc＋bc·ca＋ca·ab＝abc(a＋b＋c)

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科目：高中數學 來源： 題型：

11、已知a、b、c是互不相等的非零實數．若用反證法證明三個方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根，應假設成（　　）

A、三個方程都沒有兩個相異實根

B、一個方程沒有兩個相異實根

C、至多兩個方程沒有兩個相異實根

D、三個方程不都沒有兩個相異實根

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科目：高中數學 來源：2013屆安徽省高二下學期期中考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知a、b、c是互不相等的非零實數.若用反證法證明三個方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根.

【解析】本試題主要考查了二次方程根的問題的綜合運用。運用反證法思想進行證明。

先反設，然后推理論證，最后退出矛盾。證明：假設三個方程中都沒有兩個相異實根，

則Δ₁=4b²－4ac≤0，Δ₂=4c²－4ab≤0，Δ₃=4a²－4bc≤0

相加有a²－2ab+b²+b²－2bc+c²+c²－2ac+a²≤0，

（a－b）²+（b－c）²+（c－a）²≤0.顯然不成立。

證明：假設三個方程中都沒有兩個相異實根，

則Δ₁=4b²－4ac≤0，Δ₂=4c²－4ab≤0，Δ₃=4a²－4bc≤0.

相加有a²－2ab+b²+b²－2bc+c²+c²－2ac+a²≤0，

（a－b）²+（b－c）²+（c－a）²≤0. ①

由題意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.

∴假設不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.

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科目：高中數學 來源：2010年哈三中高二下學期期末測試數學理 題型：選擇題

1. 已知a、b、c是互不相等的非零實數.若用反證法證明三個方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根，應假設成（）

A．三個方程都沒有兩個相異實根 B．一個方程沒有兩個相異實根

C．至多兩個方程沒有兩個相異實根 D．三個方程不都沒有兩個相異實根

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知a、b、c是互不相等的非零實數．若用反證法證明三個方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根，應假設成（　　）

A．三個方程都沒有兩個相異實根

B．一個方程沒有兩個相異實根

C．至多兩個方程沒有兩個相異實根

D．三個方程不都沒有兩個相異實根

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年黑龍江省哈爾濱三中高二（下）第二學段數學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知a、b、c是互不相等的非零實數．若用反證法證明三個方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根，應假設成（）
A．三個方程都沒有兩個相異實根
B．一個方程沒有兩個相異實根
C．至多兩個方程沒有兩個相異實根
D．三個方程不都沒有兩個相異實根

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