Question

已知定義在R上的偶函數(shù)g（x）滿足：當x≠0時，xg′（x）＜0（其中g(shù)′（x）為函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)）；定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）=-f（x），在區(qū)間[0，1]上為單調(diào)遞增函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）在x=-5處的切線方程為y=-6．若關(guān)于x的不等式g[f（x）]≥g（a²-a+4）對x∈[6，10]恒成立，則a的取值范圍是（ ）
A．-2≤a≤3
B．a(chǎn)≤-1或a≥2
C．-1≤a≤2
D．a(chǎn)≤-2或a≥3

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)“xg′（x）＜0”和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，再將“g[f（x）]≥g（a²-a+4）對x∈[6，10]恒成立”，轉(zhuǎn)化為“|f（x）|≤|a²-a+4|對x∈[6，10]恒成立”，再由條件求出函數(shù)f（x）的周期、對稱軸以及f（-5）的值，再得f（-1）、f（1）、f（3）的值，再由這些性質(zhì)畫出大致圖象，右圖象求出函數(shù)f（x）在[6，10]上的值域，從而求出最大值，列出關(guān)于a的不等式求解．
解答：解：∵當x≠0時，xg′（x）＜0，∴當x＞0時，g′（x）＜0，當x＜0時，g′（x）＞0，
即g（x）在（-∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞減，
∵不等式g[f（x）]≥g（a²-a+4）對x∈[6，10]恒成立，
∴|f（x）|≤|a²-a+4|對x∈[6，10]恒成立，
由f（x+2）=-f（x）得，f（x+4）=-f（x+2）=f（x），則函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，
又∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（x+2）=-f（x）=f（-x），則函數(shù)f（x）的對稱軸是x=1，
∵在x=-5處的切線方程為y=-6，∴f（-5）=-6，即f（-1）=f（3）=-6，f（1）=6，
再結(jié)合f（x）在區(qū)間[0，1]上為單調(diào)遞增函數(shù)，且f（0）=0，畫出大致圖象：
由上圖得，當x∈[6，10]時，f（x）∈[-6，6]，
由|f（x）|≤|a²-a+4|對x∈[6，10]恒成立，得6≤|a²-a+4|，
即a²-a+4≥6或a²-a+4≤-6，化簡得a²-a-2≥0或a²-a+10≤0，
解得a≤-1或a≥2，
故選B．
點評：本題是有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的綜合題，考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性關(guān)系、對稱性、周期性等，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，難度以及綜合程度都很大．