Question

（本題滿分12分）

如圖，已知直平行六面體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC₁的中點，A₁D⊥BE．

（I）求證：A₁D⊥平面BDE；

（II）求二面角B―DE―C的大小；

（III）求點B到平面A₁DE的距離    

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析；(2)∠BNM=arctan (10’)(3)BN==a 。

【解析】(1)因為A₁D⊥BE,再根據AD⊥BD,,所以,

所以，因而,問題得證.

(2)作出二面角的平面角是解題的關鍵，具體做法取CD中點M，連BM，則BM⊥平面CD₁，作MN⊥DE于N，連NB，則∠BNM是二面角B―DE―C的平面角，然后解三角形求角即可.

(3)在（2）的基礎上，易證BN長就是點B到平面A₁DE的距離,因而可得BN==a.

(1)∵AA₁⊥面ABCD，∴AA₁⊥BD，

又BD⊥AD，∴BD⊥A₁D        (2’)

又A₁D⊥BE，

∴A₁D⊥平面BDE                (3’)

(2)連B₁C，則B₁C⊥BE，易證RtΔCBE∽RtΔCBB₁，

∴=，又E為CC₁中點，∴BB₁²=BC²=a²，

∴BB₁=a          (5’)

取CD中點M，連BM，則BM⊥平面CD₁，作MN⊥DE于N，連NB，則∠BNM是二面角B―DE―C的平面角                (7’)

RtΔCED中，易求得MN=，RtΔBMN中，tan∠BNM==，∴∠BNM=arctan (10’)

(3)易證BN長就是點B到平面A₁DE的距離    (11’)

BN==a        (12’)

    (2)另解：以D為坐標原點，DA為x軸、DB為y軸、DD₁為z軸建立空間直角坐標系

則B(0,a,0)，設A₁(a,0,x)，E(-a,a, )，=(-a,0,-x)，=(-a,0, )，∵A₁D⊥BE

∴a²-x²=0，x²=2a²，x=a，即BB₁=a.