Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上的一點A（2，4）．
（Ⅰ）是否存在直線l：y=kx+3與圓M有兩個交點B，C，并且|AB|=|AC|，若有，求此直線方程，若沒有，請說明理由；
（Ⅱ）設點T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得 = ，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0化為（x﹣6）2+（y﹣7）2=25，圓心為M（6，7），半徑為5

假設存在直線l：y=kx+3與圓M有兩個交點B，C，并且|AB|=|AC|，

則AM⊥BC，∵kAM= ，即直線l的斜率為﹣

則直線l：y=﹣ x+3，即4x+3y﹣9=0

圓心M（6，7）到4x+3y﹣9=0的距離d=

即直線l與圓M無兩個交點，

∴不存在直線l：y=kx+3與圓M有兩個交點B，C，并且|AB|=|AC|；

（Ⅱ）設P（x1，y1），Q（x2，y2），∵A（2，4），T（t，0），

由 = 得， ，由點Q在圓M上，所以（x2﹣6）2+（y2﹣7）2=25

即得（x1﹣t﹣4）2+（y1﹣3）2=25．

從而圓（x﹣6）2+（y﹣7）2=25與圓（x﹣t﹣4）2+（y﹣3）2=25上有公共點，

即5﹣5

解得2﹣2 ≤t≤2+2 ，

∴實數t的取值范圍為[2﹣2 ，2+2 ]．

【解析】（1）假設存在直線l：y=kx+3，由題意|AB|=|AC|，則AM⊥BC，即直線l的斜率為，根據點到直線的距離即可判斷出不存在這樣的直線與圓有兩個交點，（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2），由向量關系表示出Q點坐標，由于點Q在圓上，可得（x1﹣t﹣4）2+（y1﹣3）2=25，若兩圓有公共點，則兩圓心間的距離小于半徑之和，大于半徑之差，即可得到實數t的取值范圍.