Question

【題目】如圖，點F1 ， F2分別是橢圓C：的左、右焦點．點A是橢圓C上一點，點B是直線AF2與橢圓C的另一交點，且滿足AF1⊥x軸，∠AF2F1=30°．
（1）求橢圓C的離心率e；
（2）若△ABF1的周長為4 ， 求橢圓C的標準方程；
（3）若△ABF1的面積為8 ， 求橢圓C的標準方程．

Answer 1

【答案】解：（1）Rt△AF1F2中，∵∠AF2F1=30°，
∴，
則，代入并利用b2=a2﹣c2化簡整理，
得3a4﹣2a2c2﹣3c4=0，即（a2﹣3c2）（3a2﹣c2）=0，
∵a＞c，
∴a=c，
∴e==．
（2）由橢圓定義知AF1+AF2=BF1+BF2=2a，
∴△ABF1的周長為4a，
∴4a=4，則a=，b=，
故橢圓C的標準方程為；
（3）由（1）知a=c，則b=c，
于是橢圓方程可化為，即2x2+3y2=6c2 ，
設直線AF2的方程為y=(x-c)，代入2x2+3y2=6c2化簡整理得3x2﹣2cx﹣5c2=0，
∴x=﹣c或x=c，
則點B的橫坐標為c，
∴點B到直線AF1的距離為c-(-c)=c
∴△ABF1的面積為，
解得c=3，
∴a=3,b=3
故橢圓C的標準方程為．
【解析】（1）通過求解直角三角形得到A的坐標，代入橢圓方程整理，結合隱含條件求得橢圓C的離心率e；
（2）通過橢圓定義結合三角形的周長及隱含條件求得答案；
（3）由（1）得到a與c，b與c的關系，設直線AF2的方程為y=(x-c)，代入2x2+3y2=6c2化簡整理，求得B的坐標，再由點到直線的距離公式結合三角形面積求得答案．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．