Question

解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

定義F(x，y)＝(1＋x)^y，x，y∈(0，＋∞)，

(Ⅰ)令函數f(x)＝F(1，log₂(x²－4x＋9))的圖象為曲線C₁，曲線C₁與y軸交于點A(0，m)，過坐標原點O向曲線C₁作切線，切點為B(n，t)(n＞0)，設曲線C₁在點A、B之間的曲線段與線段OA、OB所圍成圖形的面積為S，求S的值；

(Ⅱ)令函數g(x)＝F(1，log₂(x³＋ax²＋bx＋1))的圖象為曲線C₂，若存在實數b使得曲線C₂在x₀(－4＜x₀＜－1)處有斜率為－8的切線，求實數a的取值范圍；

(Ⅲ)當且x＜y時，證明F(x，y)＞F(y，x)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵ 　　∴，故A(0，9)，　1分 　　又過坐標原點O向曲線作切線，切點為B(n，t)(n＞0)，＝2x－4． 　　∴， 　　解得B(3，6)，　　2分 　　∴．　　4分 　　(Ⅱ)， 　　設曲線在處有斜率為－8的切線， 　　又由題設log2(x3＋ax2＋bx＋1)＞0，＝3x2＋2ax＋b， 　　∴存在實數b使得有解，　　6分 　　由(1)得，代入(3)得，　　7分 　　∴由有解， 　　得2×(－4)2＋a×(－4)＋8＞0或2×(－1)2＋a×(－1)＋8＞0， 　　∴a＜10或， 　　∴．　　9分 　　(Ⅲ)令，由，　　10分 　　又令， 　　∴， 　　∵在連續　　∴在單調遞減，　　12分 　　∴當時有，， 　　∴當時有，， 　　∴在單調遞減，　　13分 　　∴時，有， 　　∴yln(1＋x)＞xln(1＋y)， 　　∴， 　　∴當且時，．　　14分