Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中M：x²+y²=15），其部分圖象如圖所示：
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數g(x)=f(x+

π

4

)•f(x-

π

4

)在區間[0，

π

2

]上的最大值及相應的x值．

Answer 1

分析：（1）通過函數的圖象求出A，T，然后求出ω，利用函數圖象經過（

π

4

，1），以及φ的范圍，求出φ，得到函數的解析式．
（2）利用（1）求出函數g（x）的解析式，通過二倍角公式，角的范圍，確定函數的最大值以及相應的x 的值．

解答：解：（1）由圖可知  A=1，
T=4×

π

2

=2π，ω=1，
又f（x）=1，即sin（

π

4

+φ）=1且φ∈(-

π

2

，

π

2

)，
所以φ=

π

4

，
函數f（x）=sin（x+

π

4

）．
（2）由（1）可知g(x)=f(x+

π

4

)•f(x-

π

4

)
=sin（x+

π

4

+

π

4

）sin（x-

π

4

+

π

4

）
=cosxsinx
=

1

2

sin2x，
因為x∈[0，

π

2

]，所以2x∈[0，π]
sin2x∈[0，1]
g（x） 的最大值為

1

2

，此時x=

π

4

．

點評：本題考查三角函數的圖象的應用，通過函數的圖象求出函數的解析式，考查學生的視圖用圖能力，正確選擇圖象上的特殊點是解題的關鍵，求最大值是考查基本知識的應用以及計算能力．