Question

設n階方陣An=

1 3 5 … 2n-1 2n+1 2n+3 2n+5 … 4n-1 4n+1 4n+3 4n+5 … 6n-1 … … … … … 2n(n-1)+1 2n(n-1)+3 2n(n-1)+5 … 2n2-1

任取A_n中的一個元素，記為x₁；劃去x₁所在行與列，將剩下的元素按原來的位置關系組成n-1階方陣A_n-1，任取A_n-1中一個元素，記為x₂，劃去x₂所在行與列，…將最后剩下的一個元素記為x_n，記S_n=x₁+x₂+…+x_n，
若n=3時，則S₃=

 

，若n=k時，則S_k=

 

．

Answer 1

分析：根據題意可知：令n=3得到三階矩陣，從中任取一元素得x₁，劃去x₁所在的行和列得到二階矩陣得到x₂，劃去x₂所在的行和列得到x₃，求出之和即可．利用找規律的方法總結出當n=k時S_k的值．

解答：解：當n=3時，A₃=

.

1    3 5 7    9 11 13  15 17

.

則任取A₃中的元素1，劃去1所在的行和列得到二階方陣，則x₁=1；
在二階方陣

.

9 11 15 17

.

中任取一個元素11，劃去11所在的行和列則x₂=11，
最后剩下15則x₃=15，∴S₃=x₁+x₂+x₃=1+11+15=27=3³；
則當n=k時，根據規律法得到S_k=k³．
故答案為：27；k³．

點評：本題考查對高階矩陣中元素的準確認識，以及會用歸納總結得出一般結論的方法．