Question

【題目】已知a、b、c三個實數成等差數列，則直線bx+ay+c=0與拋物線 的相交弦中點的軌跡方程是 ．

Answer 1

【答案】x+1=﹣（2y﹣1）2（y≠1）
【解析】解：設直線bx+ay+c=0與拋物線 的交點坐標為A（﹣2y12 ， y1），B（﹣2y22 ， y2）， 把x=﹣2y2代入直線方程bx+ay+c=0得：﹣2by2+ay+c=0，
∴y1y2= ，y1+y2= ，
∵a，b，c成等差數列，∴c=2b﹣a，
∴y1y2= = ﹣1，
設AB的中點為P（x，y），則x=﹣y12﹣y22=﹣（y1+y2）2+2y1y2=﹣ + ﹣2，
y= = ，
∴x=﹣4y2+4y﹣2，即x+1=﹣（2y﹣1）2 ，
由△=a2+8bc=a2+8b（2b﹣a）=a2﹣8ab+16b2=（a﹣4b）2＞0得a≠4b，
∴y≠1．
所以答案是：x+1=﹣（2y﹣1）2（y≠1）．