Question

對于給定的以下四個命題，其中正確命題的個數為（　　）
①函數f(x)=

x2-2x

x-2

是奇函數；
②函數f（x）在（a，b）和（c，d）都是增函數，若x₁∈（a，b），x₂∈（c，d），且x₁＜x₂則一定有f（x₁）＜f（x₂）；
③函數f（x）在R上為奇函數，且當x＞0時有f(x)=

x

+1，則當x＜0，f（x）=-

-x

-1；
④函數y=x+

1-2x

的值域為{y|y≤1}．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由f(x)=

x2-2x

x-2

=x（x≠2）的定義域關于原點不對稱，可得函數是非奇非偶函數
②例如y=sinx在（0，，

1

2

π），（2π，

5π

2

）上單調遞增，取x1=

π

4

，x2=

9π

4

，但是f（x₁）=f（x₂），
③函數f（x）在R上為奇函數，且當x＞0時有f(x)=

x

+1，則當x＜0，-x＞0，則可得f（x）=-f（-x）可求
④函數y=x+

1-2x

，令t=

1-2x

則x=

1-t2

2

，且t≥0，從而有y=

1-t2

2

+t=-

1

2

(t2-2t-1)=-

1

2

(t-1)2+1，利用二次函數的性質可求

解答：解：①∵f(x)=

x2-2x

x-2

=x（x≠2）的定義域關于原點不對稱，故函數是非奇非偶函數，①錯誤
②函數f（x）在（a，b）和（c，d）都是增函數，若x₁∈（a，b），x₂∈（c，d），且x₁＜x₂則一定有f（x₁）＜f（x₂）錯誤，例如y=sinx在（0，，

1

2

π），（2π，

5π

2

）上單調遞增，取x1=

π

4

，x2=

9π

4

，但是f（x₁）=f（x₂），故②錯誤．
③函數f（x）在R上為奇函數，且當x＞0時有f(x)=

x

+1，則當x＜0，-x＞0，則可得f（x）=-f（-x）=-

-x

-1，故③正確
④函數y=x+

1-2x

，令t=

1-2x

則x=

1-t2

2

，且t≥0，
∴y=

1-t2

2

+t=-

1

2

(t2-2t-1)=-

1

2

(t-1)2+1
當t=1時，函數有最大值1，即函數的值域為{y|y≤1}故④正確
故選B

點評：本題主要考查了函數奇偶性的判定，解題中不要漏掉函數定義域的考慮，函數單調性的應用，及由奇函數的性質求解函數解析式，利用換元法求解函數的值域，綜合考查了函數的性質的應用．