Question

設拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于點F₁，焦點為F₂；橢圓C₂以F₁、F₂為焦點，離心率e=

1

2

．
（I）（文科做）當m=1時，
①求橢圓C₂的標準方程；
②若直線l與拋物線交于A、B兩點，且線段AB恰好被點P（3，2）平分，設直線l與橢圓C₂交于M、N兩點，求線段MN的長；
（II）（僅理科做）設拋物線C₁與橢圓C₂的一個交點為Q，是否存在實數m，，使得△QF₁F₂的邊長是連續的自然數？若存在，求出這樣的實數m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）①當m=1時，拋物線C₁方程可知，所以橢圓C₂中c與a值可求，進而得出橢圓的標準方程；
②由題意得，若x=3，則y=±2

3

，線段AB不可能被點P（3，2）平分．直線l的斜率k一定存在，不妨設直線l的方程為：y-2=k（x-3），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線的方程代入橢圓的方程，消去x得到關于y的一元二次方程，再結合根系數的關系利用中點坐標公式即可求得k值，從而求得直線l的方程．
（II）先假設存在實數m，使得△QF₁F₂的邊長是連續的自然數，由P點為拋物線與橢圓在第一象限的焦點，所以只要根據拋物線方程求出橢圓方程，再聯立，即可得出Q點坐標，從而分別求出△QF₁F₂的三邊長，讓三邊成公差為1得等差數列，求m的值，若能求出，則存在，若不能求出，則不存在．

解答：解：（I）①∵c₁：y²=4mx的右焦點F₂（m，0）∴橢圓的半焦距c=m，
又e=

1

2

，∴橢圓的長半軸的長a=2m，短半軸的長b=

3

m．
橢圓方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

=1，
∴當m=1時，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
②由題意得，若x=3，則y=±2

3

，線段AB不可能被點P（3，2）平分，
∴直線l的斜率k一定存在，不妨設直線l的方程為：y-2=k（x-3），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y2=4x y-2=k(x-3)

得ky²-4y-12k+8=0，
∴y₁+y₂=

4

k

=4，∴k=1，
∴直線l的方程為：y-2=x-3，即y=x-1．
（II）假設存在滿足條件的實數m，
由

y2=4mx x2 4m2 + y2 3m2 =1

，解得：Q(

2

3

m，

8

3

m)，
∴|QF2|=

2

3

m+m=

5

3

m，|QF1|=4m-|QF2|=

7

3

m，又|F1F2|=2m=

6

3

m．
即△QF₁F₂的邊長分別是

5

3

m、

6

3

m、

7

3

m．
∵

6m

3

-

5m

3

=

7m

3

-

6m

3

=1∴m=3，
故存在實數m使△PF₁F₂的邊長是連續的自然數．

點評：本題考查拋物線和橢圓的標準方程和簡單性質，弦長公式的應用，考查了橢圓、拋物線與直線的位置關系以及存在性問題，綜合性強，做題時認真觀察，找出切入點．