Question

已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，P（2，0）為定點．
（Ⅰ）若點P為拋物線的焦點，求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若動圓M過點P，且圓心M在拋物線C上運動，點A、B是圓M與y軸的兩交點，試推斷是否存在一條拋物線C，使|AB|為定值？若存在，求這個定值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用焦點坐標和拋物線的系數之間的關系即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）先設出圓M的方程找到|AB|的長（用圓心M的坐標來表示），在利用圓心M在拋物線C上運動，把|AB|的長轉化為與拋物線系數有關的形式，即可求出找到結論．

解答：解：（Ⅰ）設拋物線方程為y²=2px（p≠0），則拋物線的焦點坐標為（

p

2

，0）．由已知，

p

2

=2，即p=4，故拋物線C的方程是y²=8x．
（Ⅱ）設圓心M（a，b）（a≥0），點A（0，y₁），B（0，y₂）．
因為圓M過點P（2，0），則可設圓M的方程為（x-a）²+（y-b）²=（a-2）²+b²．令x=0，得y²-2by+4a-4=0．則y₁+y₂=2b，y₁•y₂=4a-4．
所以|AB|=

(y1-y2)2

=

(y1+y2)2-4y1•y2

=

4b2-16a+16

．
設拋物線C的方程為y²=mx（m≠0），因為圓心M在拋物線C上，則b²=ma．
所以|AB|=

4ma-16a+16

=

4a(m-4)+16

．
由此可得，當m=4時，|AB|=4為定值．故存在一條拋物線y²=4x，使|AB|為定值4．

點評：本題涉及到拋物線標準方程的求法問題．因為拋物線的標準方程有四種形式，所以在設方程之前一定要先看焦點所在位置．