Question

（14分）已知aÎR，函數f（x）=x| x－a |．

（1）當a=2時，求使f（x）=x成立的的集合；

（2）求函數y=f（x）在區間上的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）f（x）=x成立的的集合為{0，1，3}

（2）函數y=f（x）在區間上的最小值為

【解析】解：（1）當a=2時，f（x）=x| x－2 |．

當x<2時，由f（x）=x（2－x） =x，解得x=0或x=1；

當x≥2時，由f（x）=x（ x－2 ）=x．，解得x=0或x=3．

綜上所述，使f（x）=x成立的的集合為{0，1，3}．………………………………4分

（2）①當a≤1時，在區間[1，2]上，f（x）= x（x－a）=x²－ax．

因為當1≤x≤2時，=2x－a>0，

所以f（x）在[1，2]上單調遞增，所以=f（1）=1－a．………………………6分

②當1<a≤2時，在區間[1，2]上，f（x）=x | x－a |≥0，由f（a）=0知，=f（a）=0．………………………………………………………………………………………………8分

③當a>2時，在區間[1，2]上，f（x）= x（a－x）=ax－x²．

,

若2<a<3，,所以=f（2）=2a-4．………………………………10分

若a≥3，,所以=f（1）=a－1．………………………………12分

綜上所述，函數y=f（x）在區間上的最小值為14分