Question

是否存在兩個銳角α和β使得兩個條件：
①α+β=

2π

3

   ②tan

α

2

tan

β

2

=2-

3

 同時成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：假設題中的兩個條件同時成立，則

α

2

+

β

2

=

π

3

，利用兩角和的正切公式得tan(

α

2

+

β

2

)=

tan α 2 +tan β 2

1-tan α 2 tan β 2

=

3

，從而解出tan

α

2

+tan

β

2

=3-

3

，與tan

α

2

tan

β

2

=2-

3

聯解得出tan

α

2

=1或tan

β

2

=1，這與α、β為銳角相矛盾，因此不存在滿足條件的α、β的值．

解答：解：假設存在兩個銳角α和β，使得兩個條件：①α+β=

2π

3

；②tan

α

2

tan

β

2

=2-

3

同時成立，
由

α

2

+

β

2

=

π

3

，可得tan(

α

2

+

β

2

)=

3

，即

tan α 2 +tan β 2

1-tan α 2 tan β 2

=

3

．
∵tan

α

2

tan

β

2

=2-

3

，
∴

tan α 2 +tan β 2

1-(2- 3 )

=

3

，化簡得tan

α

2

+tan

β

2

=3-

3

．
由

tan α 2 +tan β 2 =3- 3 tan α 2 tan β 2 =2- 3

聯解，可得

tan α 2 =1 tan β 2 =2- 3

或

tan α 2 =2- 3 tan β 2 =1

．
∵α、β∈（0，π），
∴

α 2 = π 4 β 2 = π 12

或

α 2 = π 12 β 2 = π 4

，即

α= π 2 β= π 3

或

α= π 3 β= π 2

，這與α和β都是銳角矛盾．
因此不存在兩個銳角α和β使得兩個條件：①α+β=

2π

3

；②tan

α

2

tan

β

2

=2-

3

同時成立．

點評：本題給出α、β滿足的條件，探求α、β能否為銳角．著重考查了兩角和與差的正切公式、方程組的解法、特殊角的三角函數值等知識，屬于中檔題．