Question

已知橢圓，點在橢圓上。
（1）求橢圓的離心率；
（2）若橢圓的短半軸長為，直線與橢圓交于A、B，且線段AB以M(1，1)為中點，求直線的方程。

Answer 1

（1）；  （2）直線方程為：。

試題分析：(1)因為點在橢圓上，所以，即，
又，所以。
（2）因為橢圓的短半軸長為，所以，所以橢圓方程為：，
設，則，，兩式相減，得：，因為線段AB以M(1，1)為中點，，所以，即，所以直線方程為：。
點評：利用直線和圓錐曲線的兩個交點，把交點代入圓錐曲線的方程，并作差。求出直線的斜率，然后利用中點求出直線方程。這種方法為點差法。一般情況下，遇到弦中點的問題可以先考慮點差法。 利用點差法可以減少很多的計算，所以在解有關的問題時用這種方法比較好。點差法適應的常見問題：  弦的斜率與弦的中點問題。