Question

（12分）已知雙曲線C的中心是原點，右焦點為F(,0)，一條漸近線m:x+y=0，設過點A(－3,0)的直線l
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過原點的直線a∥l，且a與l的距離為，求k的值；
（3）證明：當k＞時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為.

Answer 1

（1）－y2=1
（2）k=±
（3）略

（1）設雙曲線C的方程為x2－2y2=λ(λ＞0)，
∴λ+=3，解得λ="2." 雙曲線C的方程為－y2="1." （4分）
（2）直線l：kx－y+3k=0，直線a:kx－y=0.由題意，
得，解得k=±.(8分)
（3）證法一：設過原點且平行于l的直線b: kx－y=0，則直線l與b的距離d=，當k＞時，d＞.(12分)
又雙曲線C的漸近線為x±y=0,
∴雙曲線C的右支在直線b的右下方，
∴雙曲線C右支上的任意點到直線l的距離大于.
故在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為.